海岛算经

一卷。刘徽(生卒年不可考)撰。据《隋书·律历志》：“魏陈留王景元四年刘徽注九章”可知徽为魏晋间人。又据《宋史·礼志》载北宋末算祀典中刘徽被追封为“淄乡男”，可推断他为山东淄川或临淄一带人。《九章注序》云：“徽幼习《九章》，长再详览”，在263年为之作注，并撰《重差》一卷附于《九章》之后，另撰《九章重差图》一卷(已佚)。他在自序中称：“辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于勾股之下。”唐初该书另本单行，被称为《海岛算经》而立于学官，成为《算经十书》之一。传本《海岛算经》共有九题，体例同《九章》，有题、答、求。第一题测海岛用重表法，第三题量方邑用连索法，第四题测深谷用累矩法，这是刘徽重差术的三个基本方法，其他各题均是用基本方法所得的结果上转求他问。何谓“重差”?刘徽在注序中加以解释：“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也。”即用矩尺在不同点测望物体，利用表间差距和所测景长之差推算所测物体远近高深的一种测量方法。刘徽说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则幽遐诡伏靡所不入。”九题之中，“两望(重表)”题三个(第一、三、四题)；“三望”者四题(第二、五、六、八题)；“四望”题二个(第七、九题)。除第七题的“又术”是错误的外，九个问题的解法都是正确的，展示了我国古代测量术的水平。第七题“又术”极可能是后来注释者窜入其中的。刘徽在《九章》注释中提出的“不失本率原理”，实质上是建立了相似勾股形的理论，从而奠定了勾股测量术的理论基础。《海岛算经》在此基础上创造发展了重差理论，达到了中国古代测望之学的顶峰。该书作为中算重要典籍被收入《永乐大典》与《四库全书》。唐显庆年间(656－661)李淳风奉敕为之作注；清李潢撰《海岛算经细草图说》一卷，清沈钦裴又撰《重差图说》一卷，以相似比例论释重差术；清李镠《海岛算经经纬笔》一卷则以天元术解之。当代著名数学家吴文俊在《我国古代测望之学重差理论评介，兼评数学史研究中某些方法问题》(1982年，载《吴文俊文集》)及《〈海岛算经〉古证探源》(1982年，载《吴文俊文集》)两文中以“出入相补原理”解释了《海岛算经》的造术；1990年中算史家李继闵在《东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究》中探讨了九问之造术为日高术推衍变化而得。《海岛算经》的版本有北宋秘书省刻本和南宋鲍浣之刻本；戴震任四库馆员时从《永乐大典》中辑录出九个问题订为一卷即为《四库》本；武英殿聚珍版本；孔继涵微波榭《算经十书》本；屈曾发《九章算术附刊》本；1963年钱宝琮校点《算经十书》本。